Função Quadrática

Subseção 2.1 Função Quadrática do tipo \(y=ax^2\)

• Se o valor de a é positivo, ou seja, \(a>0\text{,}\) então a concavidade fica virada para cima
• Quanto maior o valor de a, mais fechada esta parábola fica. Quanto menor o valor e a, mais aberta ela será.
• Se o valor de a é negativa, ou seja, \(a<0\text{,}\) então a concavidade fica virada para baixo
• Quanto menor o valor e a, mais fechada a parábola fica. Quanto maior o valor de a, mais aberta ela será.
• Se a é nulo, ou seja \(a=0\text{,}\) temos uma função constante passando por zero.

• Quando a é positivo (\(a>0\)).
• Quando a é negativo (\(a<0\)).

1. Usando o botão deslizante que representa os valores do coeficiente \(a\text{,}\) faça a parábola preta coincidir com a parábola vermelha.
2. Usando o botão deslizante do coeficiente \(a\) faça a parábola passar pelos 3 pontos A, B e C. Observe as coordenadas dos pontos e compare com o coeficiente da função quadrática.
3. Objetos próximos da Terra movem-se em trajetória parabólica pela ação da gravidade, cujo gráfico é de uma função é quadrática. Com isso, um homem que está treinando lançamentos com uma bola de futebol percebe este movimento parabólico. Com o auxílio do botão deslizante, encontre a parábola que mais se aproxima da trajetória da bola.

Subseção 2.2 Função do tipo \(y=ax^2+k\)

1. Usando os botões deslizantes que representam os valores dos parâmetros \(a\) e \(k\text{,}\) faça que a parábola preta coincidir com a parábola verde.
2. Use o botão deslizantes do gráfico interativo e faça a parábola passar pelos três pontos. Observe as coordenadas de cada ponto e compare com os coeficientes da função quadrática.
3. Um canhão atira um projétil, desenhando uma trajetória parabólica, cujo gráfico pertence à função quadrática. Mexa nos botões deslizantes do gráfico interativo até que a parábola coincida com a trajetória do projétil.

Subseção 2.3 Função Quadrática do tipo \(y=a(x-m)^2\)

Subseção 2.4 Função Quadrática do tipo \(y=a(x-m)^2+k\)

Subseção 2.5 Escrevendo a Função Quadrática na Forma Canônica

Subseção 2.5.1 Vértice da Parábola

A parábola é a curva desenhada pelo gráfico da função quadrática e seu vértice é, o seu ponto de mínimo se a parábola for virada para cima ou o ponto de máximo de a parábola for virada para baixo, indenpendente de qual forma ela está escrita, seja a padrão ou a canônica. Como já sabemos escrever uma função na forma canônica, observaremos facilmente o vértice dela quando usamos um software gráfico para desenhar as parábolas.

Quais as coodenadas do vértce da parábola definida pela equação \(f(x)=(x-2)^2+3\text{?}\)

Na função \(f(x)=(x-2)^2+3\) os valores de \(m=2\) e \(k=3\) representam as coordenadas do ponto de mínimo da parábola, ou seja, \(V=(m,k)=(2,3)\text{.}\) E como já sabemos, \(m\) representa a equação do eixo de simetria da parábola. Ou seja, nessa função, \(x=2\) representa a lei de formação do eixo de simetria da parábola.

Quais as coodenadas do vértce da parábola definida pela equação \(f(x)=-x^2-6x-8\text{?}\)

Note que a função está escrita na forma \(f(x)=-x^2-6x-8\text{.}\) Podemos escrever a função na forma canônica e em seguida analisar os valores de \(m\) e \(k\text{.}\) Logo,

\begin{equation*} f(x)=-x^2-6x-9+1 \end{equation*}

\begin{equation*} f(x)=-(x^2+6x+9)+1 \end{equation*}

\begin{equation*} f(x)=-(x+3)^2+1 \end{equation*}

Assim, o vértice tem coordenadas \(V=(m,k)=(-3,1)\text{,}\) localizado no eixo de simetria de equação \(x=-3\) e a concavidade virada para baixo deve-se ao fato de \(a=-1\text{,}\) valor positivo.

Atividades

Determine o vértice das funções quadráticas

1. \(\displaystyle f(x)=2(x+1)^2-\dfrac{1}{2}\)
   Solução.

   

   Note que o vértice tem coordenadas \(V=(m,k)=\left(-1,-\dfrac{1}{2}\right)\text{,}\) localizado no eixo de simetria de equação \(x=-1\) e a concavidade virada para baixo deve-se ao fato de \(a=2\text{,}\) valor positivo.
2. \(\displaystyle f(x)=x^2-1\)
   Solução.

   Note que o vértice tem coordenadas \(V=(m,k)=(0,-1)\text{,}\) localizado no eixo de simetria de equação \(x=0\) e a concavidade virada para cima deve-se ao fato de \(a=1\text{,}\) valor positivo.

   
3. \(\displaystyle f(x)=-x^2+3x+2\)
   Solução.

   Vamos escrever a função da forma padrão para a forma canônica.

   \begin{equation*} f(x)=-x^2+3x+2 \end{equation*}

   \begin{equation*} f(x)=-1\cdot \left(x-\dfrac{-b}{2a}\right)^2+\dfrac{4ac-b^2}{4a} \end{equation*}

   \begin{equation*} f(x)=-1\cdot \left(x-\dfrac{-3}{2\cdot(-1)}\right)^2+\dfrac{4\cdot(-1)\cdot(-2)-3^2}{4\cdot(-1)} \end{equation*}

   \begin{equation*} f(x)=-\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4} \end{equation*}

   Temos então o vértice da função cujas coordenadas são \(V=\left(\dfrac{3}{2},\dfrac{1}{4}\right)\text{.}\)

   

Subseção 2.6 Escrevendo a Função Quadrática na Forma Padrão

1. Escreva as funções a seguir na forma padrão:
   1. \(f(x)=-\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\)

      Solução.

      \(f(x)=-x^2+2\cdot x\cdot \dfrac{5}{2}-\left(\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}=-x^2+5x-6\)

      Portanto, \(f(x)=-x^2+5x-6\text{.}\)

      Usando \(f(x)=ax^2-2amx+am^2+k\text{,}\) temos que \(a=-1\text{,}\) \(m=\dfrac{5}{2}\) e \(k=\dfrac{1}{4}\text{.}\) Logo

      \(f(x)=-1\cdot x^2-2\cdot (-1)\cdot \dfrac{5}{2}\cdot x+ (-1)\cdot \left(\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\)

      Portanto, \(f(x)=-x^2+5x-6\)
   2. \(f(x)=\dfrac{1}{2}(x-4)^2-8\)

      Solução.

      \(f(x)=\dfrac{1}{2}\cdot (x^2-2\cdot x\cdot4+4^2)-8 =\dfrac{x^2}{2}-4x+8-8 =\dfrac{x^2}{2}-4x\)

      Portanto, \(f(x)=\dfrac{x^2}{2}-4x\text{.}\)

      Usando \(f(x)=ax^2-2amx+am^2+k\text{,}\) temos que \(a=\dfrac{1}{2}\text{,}\) \(m=4\) e \(k=-8\text{.}\) Logo

      \(f(x)=\dfrac{1}{2}\cdot x^2-2\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot x + \dfrac{1}{2}\cdot 4^2-8\)

      Portanto, \(f(x)=\dfrac{x^2}{2}-4x\text{.}\)

Subseção 2.7 Foco da Parábola

Elementos da Parábola

• FOCO: ponto fora da diretriz que se encontra no eixo de simetria da parábola e fora da diretriz.
• DIRETRIZ: reta cuja distância de qualquer ponto da parábola e o foco é igual à distância destes pontos da parábola à reta diretriz. Será adotada a notação \(d\)
• PARÂMETRO: é a distância do foco e a reta diretriz e será adotada a notação \(2p\text{.}\)
• VÉRTICE: é o ponto da parábola mais próximo da diretriz. Está na metade da distância do foco à reta diretriz.
• CÁLCULO DA EQUAÇÃO DA PARÁBOLA: para determinar a equação da parábola utilizaremos o vértice localizado na origem do sistema de eixos ortogonais \(V=(0,0)\text{,}\) o eixo de simetria da parábola coincidente com o eixo y, um ponto na parábola cujas coordenadas são \(A=(x,y)\text{,}\) um ponto na reta diretriz e de mesma abscissa que o ponto \(A\) que denotaremos \(B=(x,-p)\) e o foco de coordenadas \(F=(0,p)\text{.}\) Assim, usando a fórmula da distância entre dois pontos, temos que:

  \begin{equation*} \sqrt{(x-0)^2+(y-p)^2}=\sqrt{(x-x)^2+(y+p)^2} \end{equation*}

  \begin{equation*} x^2+y^2-2\cdot y\cdot p+p^2=0+y^2+2\cdot y\cdot p+p^2 \end{equation*}

  \begin{equation*} x^2-2yp=2yp \end{equation*}

  \begin{equation*} 4yp=x^2 \end{equation*}

  \begin{equation*} y=\dfrac{x^2}{4p} \end{equation*}

Exemplo 1: Seja uma função quadrática cuja lei de formação é \(y=2x^2\) temos que o vértice da função é o ponto \(V=(0,0)\text{.}\) Como o parâmetro da função é \(p=\dfrac{1}{8}\text{,}\) então o foco da parábola é o ponto \(F=\left(0,\dfrac{1}{8}\right)\) e a diretriz é a reta \(d:y=\dfrac{-1}{8}\text{.}\) Portanto, segue o gráfico.

Exemplo 2: Seja uma função quadrática cuja lei de formação é \(y=\dfrac{x^2}{8}\) temos que o veŕtice da função é o ponto \(V=(0,0)\text{.}\) Como o parâmetro da função é \(p=4\text{,}\) então o foco da parábola é o ponto \(F=(0,2)\) e a diretriz é a reta \(d:y=-2\text{.}\) Portanto segue o gráfico da função:

Exemplo 3: Seja uma função quadrática cuja lei de formação é \(y=-\dfrac{1}{4}(x-3)^2+2\) temos que o vértice da função é o ponto \(V=(3,2)\text{.}\) Como o parâmetro da função é \(p=1\) então o foco da parábola é o ponto \(F=(3,1)\) e a reta diretriz tem lei de formação \(d:y=3\text{.}\) Portanto, segue o gráfico da função:

Subseção 2.8 Exercícios

1. Identifique qual gráfico a seguir representa uma função quadrática.
   1. 
   2. 
   3. 
   4. 
   5. 
2. Localize qual das retas representam o eixo de simetria da função quadrática desenhada no gráfico.
   
   1. x=0
   2. x=2
   3. \(\displaystyle x=\dfrac{5}{2}\)
   4. x=3
   5. \(\displaystyle x=\dfrac{7}{2}\)
   Solução.

   Alternativa c.

   
3. Relacione os valores de \(a\) da função \(f(x)=ax^2\) com seus respectivos gráficos:
   1. \(\displaystyle a<0\)
   2. \(\displaystyle a=0\)
   3. \(\displaystyle a>0\)
   
   Solução.

   
4. Associe as funções quadráticas na forma \(f(x)=ax^2+k\) com os gráficos a seguir:
   1. \(\displaystyle f(x)=-\sqrt7x^2+\dfrac{5}{3}\)
   2. \(\displaystyle f(x)=2x^2-3\)
   3. \(\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2}{4}-1\)
   4. \(\displaystyle f(x)=-x^2+3\)
   
   Solução.

   dI ; bII ; cIII; aIV
5. Dada a função \(f(x)=2(x-3)^2-3\text{,}\) calcule:
   1. \(f(-2)\)

      Solução.

      \(f(-2)=2\cdot(-2-3)^2-3=2\cdot(-5)^2-3=2\cdot25-3=50-3=47\)
   2. \(f(0)\)

      Solução.

      \(f(0)=2\cdot(0-3)^2-3=2\cdot(-3)^2-3=2\cdot9-3=18-3=15\)
   3. \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)\)

      Solução.

      \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=2\cdot\left(\dfrac{1}{2}-3\right)^2-3=2\cdot\left(\dfrac{-5}{2}\right)^2-3=2\cdot\left(\dfrac{25}{4}\right)-3=\left(\dfrac{25}{2}\right)-3=\dfrac{19}{2}\)
   4. \(f(-\sqrt2)\)

      Solução.

      \(f(-\sqrt2)=2(-\sqrt2-3)^2-3=2(2+3\sqrt2+3\sqrt2+9)-3=4+12\sqrt2+18-3=12\sqrt2+19\)
6. Demonstre como escrever as funções quadráticas a seguir na forma canônima
   Dica.

   Fonte: [4.22]

   Observe que no vídeo o professor usa \(k=f(m)\text{,}\) o que não está errado, pois \(k\) é a imagem do vértice da parábola quando \(x=m\text{.}\) Logo, podemos optar por esta forma de resolver. A última alternativa resolveremos dessa forma.
   1. \(y=x^2-5x+6\)

      Solução.

      Seja \(m=-\dfrac{b}{2a}\text{,}\) \(k=\dfrac{4ac-b^2}{4a}\) e \(a=1\text{,}\) \(b=-5\) e \(c=6\text{,}\) então

      \(y=1\left(x-\dfrac{-5}{2\cdot1}\right)^2+\dfrac{4\cdot1\cdot6-(-5)^2}{4\cdot1} =\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{(24-25)}{4} =\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}\)
   2. \(y=x^2-4x+3\)

      Solução.

      Seja \(m=-\dfrac{b}{2a}\text{,}\) \(k=\dfrac{4ac-b^2}{4a}\) e \(a=1\text{,}\) \(b=-4\) e \(c=3\text{,}\) então

      \(y=1\left(x-\dfrac{-4}{2\cdot1}\right)^2+\dfrac{4\cdot1\cdot3-(-4)^2}{4\cdot1} =\left(x+\dfrac{4}{2}\right)^2+\dfrac{(12-16)}{4} =(x+2)^2-1\)
   3. \(y=-x^2+25x\)

      Solução.

      Seja \(m=-\dfrac{b}{2a}\text{,}\) \(k=\dfrac{4ac-b^2}{4a}\) e \(a=-1\text{,}\) \(b=25\) e \(c=0\text{,}\) então

      \(y=-1\left(x-\dfrac{25}{2\cdot(-1)}\right)^2+\dfrac{4\cdot(-1)\cdot0-(25)^2}{4\cdot(-1)} =-\left(x-\dfrac{25}{2}\right)^2+\dfrac{625}{4}\)
   4. \(y=2x^2-4x+2\)

      Solução.

      Seja \(m=-\dfrac{b}{2a}\text{,}\) \(k=f(m)\) e \(a=2\text{,}\) \(b=-4\) e \(c=2\text{,}\) então

      \begin{equation*} m=-\left(\dfrac{-4}{2\cdot2}\right)=\left(\dfrac{4}{4}\right)=1 \end{equation*}

      e

      \begin{equation*} f(m)=2\cdot(m)^2-4\cdot(m)+2=2\cdot1^2-4\cdot1+2=2-4+2=0 \end{equation*}

      Portanto, \(y=2(x-1)^2\text{.}\)
7. Resolva o seguinte problema:
   (Enem Digital 2020) Em um ano, uma prefeitura apresentou o relatório de gastos públicos realizados pelo município. O documento mostra que foram gastos 72 mil reais no mês de janeiro (mês 1), que o maior gasto mensal ocorreu no mês de agosto (mês 8) e que a prefeitura gastou 105 mil reais no mês de dezembro (mês 12). A curva que modela esses gastos é a parábola y=T(x), com x sendo o número correspondente ao mês e T(x) em milhar de real. A expressão da função cujo gráfico é o da parábola descrita é:
   1. \(\displaystyle T(x)=(x-8)^2+120\)
   2. \(\displaystyle T(x)=-(x-8)^2+121\)
   3. \(\displaystyle T(x)=3(x-16)^2+57\)
   4. \(\displaystyle T(x)=-3(x-16)^2+25\)
   Solução.

   Usaremos a função quadrática na forma canônica para encontrar a solução do exercício.

   Note que como o máximo ocorre no mês 8, então T(4)=105=T(12) em função da parábola ser simétrica ao vértice. Além disso, se T(1)=72, então, substituindo esses valores, temos

   \begin{align*} a(4-8)^2+k \amp =105\\ a(-4)^2+k \amp =105\\ 16a+k \amp =105 \end{align*}

   Analogamente,

   \begin{align*} a(1-8)^2+k \amp =72\\ a(-7)^2+k \amp =72\\ 49a+k \amp =72 \end{align*}

   Isolando \(k\) na segunda equação, temos que:

   \begin{equation*} k=72-49a \end{equation*}

   Substituindo na primeira equação, temos:

   \begin{align*} 16a+72-49a \amp =105\\ -33a \amp =33\\ a \amp =\dfrac{33}{-33}\\ a \amp =-1 \end{align*}

   Encontrando o valor de \(k\text{,}\) temos então:

   \begin{align*} k \amp =72-49\cdot(-1)\\ k \amp =72+49\\ k \amp =121 \end{align*}

   Portanto, \(T(x)=-(x-8)^2+121\text{,}\) alternativa b.
8. Investigue os valores de \(a\text{,}\) \(m\) e \(k\text{,}\) e com os botões deslizantes do gráfico, faça uma parábola que passe pelos pontos assinalados.
9. Selecione qual dos gráficos a seguir representa a função \(f(x)=-3(x-1)^2+2\text{.}\)
   1. 
   2. 
   3. 
   4. 
   Solução.

   Como o parâmentro \(a\) é negativo, temos que a parábola tem a concavidade virada para baixo. Logo, vamos analisar apenas as alternativas b e d.

   O parâmentro \(m\) é positivo, assim a parábola está à direita do eixo y.

   Por fim, o parâmetro \(k\) é positivo, fazendo a parábola estar com seu vértice acima do eixo x, passando no ponto \(V=(m,k)=(1,2)\text{.}\)

   Portanto, alternativa b.
10. Justifique por quê a função quadrática \(f(x)=2x^2+28x+98\) possui seu ponto de mínimo no eixo x.
    Solução.

    Passando a função da forma padrão para a canônica, temos:

    \begin{align*} f(x) \amp =2\left(x-\dfrac{(-28)}{2\cdot2}\right)^2+\dfrac{4\cdot2\cdot98-28^2}{4\cdot2}\\ f(x) \amp =2\left(x-\dfrac{(-28)}{4}\right)^2+\dfrac{784-784}{8}\\ f(x) \amp =2(x+7)^2+0\\ f(x) \amp =2(x+7)^2 \end{align*}

    Note que função possui \(k=0\text{.}\) Isto quer dizer que o vértice da função não está nem acima nem abaixo do eixo x. Portanto, a função quadrática \(f(x)=2(x+7)^2\) possui seu ponto de mínimo sobre o eixo x.
11. Compare os gráficos a seguir e determine qual deles representa a Imagem \(Im(f)=\{y\in\mathbb{R}/y\geq-4\}\text{.}\)

    \(y=x^2-6x+5\)

    \(y=-2x^2+12x-22\)
12. Utilizando os controles deslizantes que representam os coeficientes da função quadrática na forma padrão, identifique qual das panelas está no foco da função quadrática \(f(x)=\dfrac{x^2}{3}-\dfrac{1}{2}\)